Question

【题目】已知函数f（x）=x2+3x+a
（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，

解得{x|x＜﹣4或x＞1}

（2）解：若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，

则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，

设g（x）=﹣x2﹣3x

则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，

∴a得取值范围为{a|a＞﹣4}

【解析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和解一元二次不等式，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减；求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边才能得出正确答案．