Question

（理）已知函数f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且对任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求实数a的取值范围．
（III）讨论函数h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k的零点个数？

Answer 1

解：（I）∵f（-x）=f（x）
∴（-x）²+bsin（-x）-2=x²+bsinx-2
∴b=0．
（II）∵g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx
∴
依题意，或在（0，1）上恒成立
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由在（0，1）上恒成立，可知a≤-4，
所以a≥0或a≤-4
（III），
令．
所以
令y'=0，则x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值1	单调递增	极大值	单调递减

所以当时，函数无零点；
当k＜1或时，函数有两个零点；
当k=1时，函数有三个零点．
当时，函数有四个零点．
分析：（I）根据对任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式关系，即可求出b的值；
（II）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在区间（0，1）上为单调函数，求导函数，，则或在（0，1）上恒成立，然后将a分离出来，研究不等式另一侧的最值即可求出a的范围；
3）令，研究该函数的单调性和极值，结合图形可判断函数的零点个数．
点评：本题以函数为载体，考查函数的性质，考查函数恒成立问题，考查函数的零点以及利用导数研究函数的最值，同时考查了计算能力，属于中档题．