Question

12．（1）计算1+2，1+2+2²，1+2+2²+2³的值，并猜测1+2+2²+2³+…+2^n-1（n∈N^*）的值；
（2）用数学归纳法对以上猜测进行证明．

Answer 1

分析 （1）分别计算，并猜想即可得到结论．
（2）用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可．

解答 （1）解：1+2=3，1+2+2²=7，1+2+2²+2³=15，
猜测1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1----------（4分）
（2）证明：当n=1时，左=右=1，成立；----------（6分）
假设当n=k时等式成立，即1+2+2²+2³+…+2^k-1=2^k-1，----------（8分）
当n=k+1时，
左=1+2+2²+2³+…+2^k-1+2^k=2^k-1+2^k=2^k+1-1=右，即n=k+1时，等式成立；
综上所述，原式成立．

点评 本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题．