Question

【题目】如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点．

（1）求证：AF⊥BD；
（2）求二面角A﹣BE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，

∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF底面ABC，

∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC面BCD，

∴AF⊥面BCD，又BD面BCD，∴AF⊥BD．

（2）解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系如图，

∴B（2，0，0），D（0，2，2），E（0，0，1），

， ，

设面BED的一个法向量为 ，

则 ，令z=2得x=1，y=﹣1，∴ ，

又面ABE的一个法向量为 ，

∴ ，

∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是锐角，

∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出AF⊥BC，从而AF⊥DC，进而AF⊥面BCD，由此能证明AF⊥BD．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．