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    16．已知函数f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx，则下列命题正确的是①③④．（填上你认为正确的所有命题的序号）
    ①函数f（x）（x∈[0，$\frac{π}{2}$]）的单调递增区间是[0，$\frac{π}{6}$]；
    ②函数f（x）的图象关于点（-$\frac{π}{6}$，0）对称；
    ③函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是$\frac{π}{6}$；
    ④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解x1，x2，x3，则x1+x2+x3=$\frac{7π}{3}$．

    分析 ①$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，利用正弦函数的单调性可得函数f（x）的增区间，即可判断出正误；
    ②将$x=-\frac{π}{6}$代入f（x），即可判断出正误；
    ③f（x）=$2sin（x+\frac{π}{3}）$，向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为$y=2sin（x+m+\frac{π}{3}）$，由题意得$m+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，即可判断出正误；
    ④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解，结合函数$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$及y=m的图象即可得出．

    解答 解：①$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2（\frac{1}{2}sinx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosx）=2sin（x+\frac{π}{3}）$，∴函数的增区间为$[2kπ-\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
    又∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴增区间为$[0，\frac{π}{6}]$．∴①正确；
    ②将$x=-\frac{π}{6}$代入f（x）得$f（-\frac{π}{6}）=2sin（-\frac{π}{6}+\frac{π}{3}）=1≠0$，∴②不正确；
    ③$f（x）=sinx+\sqrt{3}cosx=2sin（x+\frac{π}{3}）$，∴向左平移个m（m＞0）单位长度后变换为$y=2sin（x+m+\frac{π}{3}）$，由题意得$m+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
    ∵$m＞0∴m=\frac{π}{6}+kπ（k∈N）$，因此m的最小值是$\frac{π}{6}$，∴③正确；
    ④若实数m使得方程f（x）=m在[0，2π]上恰好有三个实数解，结合函数$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）$及y=m的图象可知，必有x=0，x=2π，此时$f（x）=2sin（x+\frac{π}{3}）=\sqrt{3}$，另一解为$x=\frac{π}{3}$，即x1，x2，x3满足 ${x_1}+{x_2}+{x_3}=\frac{7π}{3}$，④正确．
    综上知，只有①③④正确．
    故答案为：①③④．

    点评 本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

    练习册系列答案
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    （1）求证：$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$
    （2）设$\overrightarrow x$=$\overrightarrow a$+（t2+3）$\overrightarrow b$，$\overrightarrow y$=-k$\overrightarrow a$+t$\overrightarrow b$，g（t）=$\frac{{k+λ{t^2}}}{t}$（λ∈[-8，0]），若存在不等于0的实数k和t（t∈[1，2]），满足$\overrightarrow x$⊥$\overrightarrow y$，试求g（t）的最小值h（λ），并求出h（λ）的最小值．

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    A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线

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