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已知P为曲线C上任一点,若P到点F(
1
2
,0)的距离与P到直线x=-
1
2
距离相等
(1)求曲线C的方程;
(2)若过点(1,0)的直线l与曲线C交于不同两点A、B,
(I)若|AB|=2
6
,求直线l的方程;
(II)试问在x轴上是否存在定点E(a,0),使
EA
EB
恒为定值?若存在,求出E的坐标及定值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)利用抛物线的定义,即可求得曲线C的方程;
(2)(I)设出直线方程与抛物线方程联立,利用弦长公式,假设弦长,即可求得结论;
(II)假设存在定点E(a,0),求出数量积,利用数量积恒为定值,可得结论.
解答:解:(1)∵P到点F(
1
2
,0)的距离与P到直线x=-
1
2
距离相等
∴P的轨迹是以F(
1
2
,0)为焦点的抛物线,方程为y2=2x;
(2)(I)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程为x=my+1代入抛物线方程可得y2-2my-2=0
∴y1+y2=2m,y1y2=-2
∴|AB|=
1+m2
×
(y1+y2)2-4y1y2
=
1+m2
×
4m2+8
=2
6

∴m4+3m2-4=0
∴m2=1,∴m=±1;
(II)假设存在定点E(a,0),∵
EA
EB
=(x1-a)(x2-a)+y1y2=-2am2+(1-a)2-2恒为定值
∴a=0,定值为-1,此时E的坐标为(0,0).
点评:本题考查抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查弦长的计算,考查数量积公式,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知点F(1,0),直线L:x=-1,P为平面上的动点,过点P作直线L的垂线,垂足为Q,且
QP
QF
=
FP
FQ

(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
FA
FB
<0
?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知平面上一定点C(2,O)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(
PC
+
1
2
PQ
)•(
PC
-
1
2
PQ
)=0

(1)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求
PE
PF
的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知平面上一定点C(2,O)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(
PC
+
1
2
PQ
)•(
PC
-
1
2
PQ
)=0

(1)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求
PE
PF
的最大值.

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科目:高中数学 来源:2013年高考数学复习卷C(四)(解析版) 题型:解答题

已知平面上一定点C(2,O)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且
(1)问点P在什么曲线上?并求出该曲线的方程;
(2)若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一条直径,求的最大值.

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