Question

在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”．
（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（2）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

Answer 1

（1）解：（答案不唯一）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．
（2）证明：根据定义，数列{a_n }必在有限项后出现0项，证明如下：
假设{a_n }中没有0项，由于a_n=|a_n-1-a_n-2|，所以对于的n，都有a_n≥1，从而
当a_n-1＞a_n-2时，a_n=a_n-1-a_n-2≤a_n-1-1（n≥3）
当a_n-1＜a_n-2时，a_n=a_n-2-a_n-1≤a_n-2-1（n≥3）
即a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．
令，n=1，2，3，…，
则0＜c_n≤c_n-1-1（n=2，3，4，…），由于c₁是确定的正整数，
这样减下去，必然存在某项c₁＜0，
这与c_n＞0（n=1，2，3，4，…）矛盾，
从而{a_n }必有0项．
若第一次出现的0项为第n项，
记a_n-1=A（A≠0），则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即k=0，1，2，3，…．
所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．
分析：（1）a₁=3，a₂=1，a₃=2，a₄=1，a₅=1，a₆=0，a₇=1，a₈=1，a₉=0，a₁₀=1．（答案不唯一）
（2）根据定义，数列{a_n }必在有限项后出现0项．证明：假设{a_n }中没有0项，由a_n=|a_n-1-a_n-2|，知a_n的值要么比a_n-1至少小1，要么比a_n-2至少小1．令，由于c₁是确定的正整数，这样减下去，必然存在某项c₁＜0，这与c_n＞0（n=1，2，3，4，…）矛盾，由此可知“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．
点评：本题首先考查数列的基本量、通项，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．