Question

已知圆C:(x-1)²+y²=r²(r＞1)，设M为圆C与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上.

（1）当r∈(1,+∞)时，求点N的轨迹E的方程；

（2）若A(x₁,2)、B(x₂,y₂)、C(x₀,y₀)是E上不同的点，且AB⊥BC，求y₀的取值范围.

Answer 1

解：(1)由条件知：M(-r+1,0),设P(0,b),N(x,y),则x=r-1.

所以(r-1-1)²+y²=r²,即y²=4r-4=4x.

所以点N的轨迹方程为y²=4x.

(2)由(1)知A(1，2)，B(,y₂),C(,y₀),y₀≠2,y₀≠y₂，

则=(,y₂-2),=(,y₀-y₂).

又因为AB⊥BC,所以AB·BC=0,

×+(y₂-2)(y₀-y₂)=0，

整理得y₂²+(y₀+2)y₂+16+2y₀=0，则此方程有解，

所以Δ=(y₀+2)²-4×(16+2y₀)≥0,解得y₀≤-6或y₀≥10，

当y₀=-6时，B(4，2)，C(9，-6)，故符合条件;

当y₀=10时，B(9，-6)，C(25，10)，故符合条件.

所以点C的纵坐标y₀的取值范围是(-∞,-6］∪［10,+∞).