Question

1．数列{a_n}中，a₁=1，若a_n+1=a_n+2n+1，n∈N^*，则数列{a_n}的第k项a_k=（　　）

• A． k²
• B． k²-k+1
• C． k²+k
• D． 2k-1

Answer 1

分析 通过对a_n+1=a_n+2n+1变形可得a_n+1-a_n=2n+1，a_n-a_n-1=2n-1，…a₂-a₁=3，累加计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1，
∴a_n-a_n-1=2n-1，
a_n-1-a_n-2=2n-3，
a_n-2-a_n-3=2n-5，
…
a₂-a₁=3，
累加得：a_n-a₁=3+5+7+…+2n-1=$\frac{（n-1）（3+2n-1）}{2}$=n²-1，
又∵a₁=1，
∴a_n=n²-1+a₁=n²-1+1=n²，
∴a_k=k²，
故选：A．

点评 本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形及利用累加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．