如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.
(Ⅰ)求证:A,E,F,D四点共圆;
(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.
(1)证明过程详见解析;(2).
【解析】
试题分析:本题以正三角形为几何背景,考查四点共圆问题以及相似三角形问题,考查学生的转化与化归的能力.第一问,利用已知条件中边的比例关系可得出结论,再利用三角形相似,得出,所以,所以可证四点共圆;第二问,根据所给正三角形的边长为2,利用已知的比例关系,得出各个小边的长度,从而得出为正三角形,所以得出,所以是所在圆的圆心,而是半径,即为.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵, ∴,
∵在正中, , ∴,
又∵,, ∴, ∴,
即,所以四点共圆. 5分
(Ⅱ)解:如图,
取的中点,连接,则,
∵, ∴,
∵,, ∴为正三角形,
∴,即,
所以点是外接圆的圆心,且圆的半径为.
由于四点共圆,即四点共圆,其半径为. 10分
考点:1.四点共圆的证明;2.三角形相似;3.三角形的外接圆.
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科目:高中数学 来源:2013届河南省南阳市一中高三第八次周考理科数学试卷(带解析) 题型:解答题
如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC, AE= AB,BD,CE相交于点F。
(I)求证:A,E,F,D四点共圆;
(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年河南省南阳市高三第八次周考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,在正△ABC中,点D,E分别在边AC, AB上,且AD=AC, AE= AB,BD,CE相交于点F。
(I)求证:A,E,F,D四点共圆;
(Ⅱ)若正△ABC的边长为2,求,A,E,F,D所在圆的半径.
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科目:高中数学 来源:2012-2013学年黑龙江省哈师大附中高三(上)第二次月考数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题
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