【题目】已知函数.
(1)讨论的导函数
的零点个数;
(2)当时,证明:
.
【答案】(Ⅰ) 当或
时,
有一个零点;当
时,
没有零点;(Ⅱ)详见解析.
【解析】试题分析:(1),所以当
或
时,
有一个零点;当
时,
没有零点;(2)
时,
在
单调递增,在
单调递减,最大值
,所以原题等价于
,即
,设
,求导得到最大值为
,即
.
试题解析:
(Ⅰ) 的定义域为
,
若,由
,
没有零点;
若或
,由
,
,
,
有一个零点;
若,由
,
,
没有零点.
综上所述,当或
时
有一个零点;当
时
没有零点.
(Ⅱ)由(1)知, ,
时
当时,
;当
时,
.
故在
单调递增,在
单调递减.
所以在
取得最大值,
最大值,
即.
所以等价于
,
即,其中
.
设,则
.
当时,
;当
时,
.
所以在
单调递增,在
单调递减.
故当时
取得最大值,最大值为
所以当时,
.
从而当时
,
即.
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【题目】一种电路控制器在出厂时,每3件一等品应装成一箱,工人装箱时,不小心将2件二等品和1件一等品装入了一箱,为了找出该箱中的二等品,对该箱中的产品逐件进行测试,假设检测员不知道该箱产品中二等品的具体数量,求:
(1)仅测试2件就找到全部二等品的概率;
(2)测试的第2件产品是二等品的概率;
(3)到第3次才测试出全部二等品的概率.
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【题目】如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为矩形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面4个结论:
直线BE与直线CF异面;
直线BE与直线AF异面;
直线
平面PBC;
平面
平面PAD.
其中正确的结论个数为
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
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【题目】已知长度为的线段
的两个端点
、
分别在
轴和
轴上运动,动点
满足
,设动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点且斜率不为零的直线
与曲线
交于两点
、
,在
轴上是否存在定点
,使得直线
与
的斜率之积为常数.若存在,求出定点
的坐标以及此常数;若不存在,请说明理由.
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【题目】记分别为函数
的导函数.若存在
,满足
且
,则称
为函数
与
的一个“S点”.
(1)证明:函数与
不存在“S点”;
(2)若函数与
存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数,
.对任意
,判断是否存在
,使函数
与
在区间
内存在“S点”,并说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx–2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
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【题目】(2016高考新课标II,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
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