Question

8．在数列{a_n}中，已知a₁=$\frac{1}{4}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，b_n=log${\;}_{\frac{1}{4}}$a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由a₁=$\frac{1}{4}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，利用等比数列的通项公式可得：a_n．利用对数的运算法则可得b_n．
（II）c_n=a_n•b_n=n$（\frac{1}{4}）^{n}$．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a₁=$\frac{1}{4}$，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4}$，可知：数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{4}$，公比为$\frac{1}{4}$，
∴a_n=$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∴b_n=log${\;}_{\frac{1}{4}}$a_n=n．
（II）c_n=a_n•b_n=n$（\frac{1}{4}）^{n}$．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{4}$+2$•（\frac{1}{4}）^{2}$+$3×（\frac{1}{4}）^{3}$+…+n$（\frac{1}{4}）^{n}$．
$\frac{1}{4}$S_n=$（\frac{1}{4}）^{2}+2×（\frac{1}{4}）^{3}$+…+（n-1）$（\frac{1}{4}）^{n}$+$n•（\frac{1}{4}）^{n+1}$．
∴$\frac{3}{4}{S}_{n}$=$\frac{1}{4}+（\frac{1}{4}）^{2}$+…+$（\frac{1}{4}）^{n}$-n•$（\frac{1}{4}）^{n+1}$=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-n•$（\frac{1}{4}）^{n+1}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{4+3n}{3×{4}^{n+1}}$，
∴S_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+3n}{9×{4}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．