Question

（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）．已知（1，e）和（e，

3

2

）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF₁与直线BF₂平行，AF₂与BF₁交于点P．
（i）若AF₁-BF₂=

6

2

求直线AF₁的斜率；
（ii）求证：PF₁+PF₂是定值．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，

3

2

），都在椭圆上列式求解．
（2）（i）设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my，与椭圆方程联立，求出|AF₁|、|BF₂|，根据已知条件AF₁-BF₂=

6

2

，用待定系数法求解；
（ii）利用直线AF₁与直线BF₂平行，点B在椭圆上知，可得PF1=

AF1

AF1+BF2

×(2

2

-BF2)，PF2=

BF2

AF1+BF2

×(2

2

-AF1)，由此可求得PF₁+PF₂是定值．

解答：（1）解：由题设知a²=b²+c²，e=

c

a

，由点（1，e）在椭圆上，得

1

a2

+

c2

a2b2

=1，∴b=1，c²=a²-1．
由点（e，

3

2

）在椭圆上，得

e2

a2

+

3

4 b2

=1
∴

a2-1

a4

+

3

4

=1，∴a²=2
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）解：由（1）得F₁（-1，0），F₂（1，0），
又∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴设AF₁与BF₂的方程分别为x+1=my，x-1=my．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＞0，
∴由

x12 2 +y12=1 x1+1=my1

，可得（m²+2）y12-2my₁-1=0．
∴y1=

m+ 2m2+2

m2+2

，y1=

m- 2m2+2

m2+2

（舍），
∴|AF₁|=

m2+1

×|0-y₁|=

2 (m2+1)+ m m2+1

m2+2

①
同理|BF₂|=

2 (m2+1)- m m2+1

m2+2

②
（i）由①②得|AF₁|-|BF₂|=

2 m m2+1

m2+2

，∴

2 m m2+1

m2+2

=

6

2

，解得m²=2．
∵注意到m＞0，∴m=

2

．
∴直线AF₁的斜率为

1

m

=

2

2

．
（ii）证明：∵直线AF₁与直线BF₂平行，∴

PB

PF1

=

BF2

AF1

，即PF1=

AF1

AF1+BF2

×BF1．
 由点B在椭圆上知，BF1+BF2=2

2

，∴PF1=

AF1

AF1+BF2

×(2

2

-BF2)．
 同理PF2=

BF2

AF1+BF2

×(2

2

-AF1)．
∴PF₁+PF₂=

AF1

AF1+BF2

×(2

2

-BF2)+

BF2

AF1+BF2

×(2

2

-AF1)=2

2

-

2AF1×BF2

AF1+BF2

 由①②得，AF1+BF2=  

2 2 (m2+1)

m2+2

，AF1×BF2= 

m2+1

m2+2

，
∴PF₁+PF₂=

3 2

2

．
∴PF₁+PF₂是定值．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．