Question

已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A(，0)为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点与点A关于直线y＝x对称．设直线l过点A，斜率为k．

(1)求双曲线S的方程；

(2)当k＝1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；

(3)当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标．如图．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知可得双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，(0，)．双曲线S的方程为－＝1． 　　(2)设B(x，)是双曲线S到直线l：y＝x－的距离为的点，由点到直线的距离公式有 　　＝． 　　解得x＝，∴纵坐标为＝2，即y＝2，即B(，2)． 　　(3)当0≤k＜1时，双曲线S的上支在直线l的上方，所以B在直线l的上方，设直线与直线l：y＝k(x－)平行，两线间的距离为，且直线在直线l的上方，双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，等价于直线与双曲线S的上支有且只有一个公共点． 　　设的方程为y＝kx＋m，由l上的点A到的距离为， 　　可知＝． 　　解得m＝(±－k)． 　　因为直线在直线l的上方， 　　所以m＝(－k)． 　　由方程组消去y得 　　(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0． 　　因为k2≠1，所以Δ＝4m2k2－4(k2－1)(m2－2)＝4(m2－2＋2k2)＝8k(3k－2)． 　　令Δ＝0，由0≤k＜1，解得k＝0或k＝． 　　当k＝0时，m＝解得x＝0或y＝． 　　此时点B的坐标为(0，)； 　　当k＝时，m＝，解得x＝2，y＝． 　　此时点B的坐标为(2，)．