Question

（2013•昌平区一模）在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求证：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB=

2

CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出

EG

EO

的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定定理证明DE∥平面ACF；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理先证明BD⊥平面ACE，然后利用线面垂直的性质证明BD⊥AE；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，先假设CG⊥平面BDE，然后利用线面垂直的性质，确定G的位置即可．

解答：解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．
又F为BE的中点，
所以OF∥DE．
又OF?面ACF，DE?面ACF，
所以DE∥平面ACF…．（4分）
（II） 证明：由EC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴EC⊥BD，
由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，
又AC∩EC=C，AC、E?平面ACE，
∴BD⊥平面ACE，
又AE?平面ACE，
∴BD⊥AE…（9分）
（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：
取EO中点G，连接CG，
在四棱锥E-ABCD中，AB=

2

CE，CO=

2

2

AB=CE，
∴CG⊥EO．
由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD?平面BDE，
∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，
∵CG⊥EO，CG?平面ACE，
∴CG⊥平面BDE
故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．
由G为EO中点，得

EG

EO

=

1

2

．…（14分）

点评：本题主要考查了空间直线和平面垂直的判定定理和性质定理的应用，要求熟练掌握相应的定理，综合性较强，难度较大．