Question

正方体是常见并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体AC₁中，E、F、G、H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题：

(1)点E、F、G、H共面吗？

(2)直线EF、GH、DG能交于一点吗？

(3)若E、F、G、H四点共面，怎样才能画出过四点E、F、G、H的平面与正方体的截面？

(4)若正方形的棱长为a，那么(3)中的截面面积是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由平面的基本性质可知，要判断四点共面可以考虑由四点能构成相交直线或平行直线． 　　本问题中，可考虑证明EG∥FH． 　　(2)思路一：要证三线共点，可先证两线共点，然后证明另一线也通过这一点． 　　因为E、F分别为棱AB、BC的中点，易得E、F∈面ABCD且EF与CD相交，设交点为P． 　　由△EBF≌△PCF可得PC＝BE＝AB． 　　同理，GH与CD相交，设交点为P1，同样可得P1C＝C1G＝C1D1＝AB． 　　所以P1与P重合，因此(2)得证． 　　思路二：要证三线共点，可先证某两线相交(如图中的EF、GH相交，设交点为P)，然后证明P既在平面DCC1D1内又在平面ABCD内，从而由公理3可得P一定在两平面的交线CD上，于是可得三线共点． 　　(3)作截面的关键在于作出截面与各个侧面的交线(或者是作出截面与正方体的各棱的交点)，而要确定两个平面的交线，要找到同时在两个平面上的至少两个点．延长HG、DD1相交于点R，延长FE交DA延长线于Q，则点R、Q是截面与侧面AD1的公共点，连结RQ与A1D1、A1A分别交于点M、T，连结GM、TE，可得截面与正方体各面的交线分别为EF、FH、HG、GM、MT、TE．截面如图阴影部分所示． 　　(4)截面为正六边形，其面积为．