Question

已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C1 ： ρcos(θ+

π

4

)=2

2

与曲线C₂：

x=4t2 y=4t

，（t∈R）交于A，B两点，则＜

OA

 ， 

OB

＞=

π

2

．

Answer 1

分析：把两个曲线的极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，联立方程组，利用一元二次方程根与系数大关系求出x₁+x₂=12，x₁•x₂=16，再利用两个向量的夹角公式求出结果．

解答：解：曲线C1 ： ρcos(θ+

π

4

)=2

2

即 ρ(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)=2

2

，
所以x-y=4，即y=x-4．
曲线C₂：

t2= x 4 t= y 4

，即(

y

4

)2=

x

4

，即y²=4x．
联立

y=x-4 y2=4x

，可得（x-4）²=4x，化简得x²-12x+16=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有 x₁+x₂=12，x₁•x₂=16．
又 cos＜

OA

 ，

OB

＞=

OA • OB

| OA  |•| OB |

=

(x1 ，y1)•(x2 ， y2)

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

，
故 y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=16-4×12+16=-16，故 x₁x₂+y₁y₂=16+（-16）=0，
故 cos＜

OA

 ，

OB

＞=0，
∴＜

OA

 ，

OB

 ＞=

π

2

，
故答案为

π

2

．

点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，把参数方程化为普通方程的方法，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．