Question

设正项等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q（n∈N*）．
（1）证明：数列{lna_n}是等差数列；
（2）对给定的正整数和正数M，对满足条件a1lna1•am+1lnam+1≤M的所有数列{a_n}，求当T=a_m+1•a_m+2…a_2m+1取最大值时数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）先确定等比数列{a_n}的通项，再取自然对数，即可证得结论；
（2）对T=a_m+1•a_m+2…a_2m+1，两边取自然对数，求和，再进行换元，条件两边取自然对数，代入利用根的判别式，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵正项等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，∴a_n=a₁q^n-1，
∴lna_n=lna₁+（n-1）lnq，∴lna_n+1-lna_n=lnq，∴数列{lna_n}是等差数列；
（2）解：由（1）知，lna_n=lna₁+（n-1）lnq
由T=a_m+1•a_m+2…a_2m+1，可得lnT=lna_m+1+lna_m+2…+lna_2m+1=

1

2

（m+1）（lna_m+1+lna_2m+1）=

1

2

（m+1）（2lna₁+3mlnq）
令2lna₁+3mlnq=t，则mlnq=

1

3

（t-2lna₁）
∵a1lna1•am+1lnam+1≤M
∴(lna1)2+(lnam+1)2≤lnM
∴10ln²a₁-2tlna₁+t²-9lnM≤0
∴△=4t²-40（t²-9lnM）≥0
∴-

10lnM

≤t≤

10lnM

∴当t=

10lnM

时，lnT最大，T最大，此时lna₁=

10lnM

10

，lnq=

4 10lnM

15m

∴a1=e

10lnM

10

，q=e

4 10lnM

15m

∴a_n=e

4(n-1) 10lnM

15m

+

10lnM

10

点评：本题考查等差数列的证明，考查等比数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．