Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点（ ，﹣ ），且离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）是椭圆C上的亮点，且x1≠x2 ， 点P（1，0），证明：△PAB不可能为等边三角形．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意，得 ，解得 ． ∴椭圆C的标准方程为 ；
（Ⅱ）证明：证明：A（x1 ， y1），则 ，且x1∈[﹣ ， ]，
|PA|= = = ，
B（x2 ， y2），同理可得|PB|= ，且x2∈[﹣ ， ]．
y= 在[﹣ ， ]上单调，
∴有x1=x2|PA|=|PB|，
∵x1≠x2 ， ∴|PA|≠|PB|，
∴△PAB不可能为等边三角形
【解析】（Ⅰ）由题意列关于a，b，c的方程组，求解得到a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）求出PA，PB，证明|PA|≠|PB|，即可证明：△PAB不可能为等边三角形．