Question

【题目】如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且 ．
（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．
（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求． 如图所示：

（Ⅱ）以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．
由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），
∴ ， ， ，

设平面ECF的法向量为 ，
由 ，得 ，
取y=1，得平面ECF的一个法向量为 ，
设直线EB与平面ECF所成的角为θ，
∴sinθ=|cos＜ ＞|=| |=
【解析】（Ⅰ）取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求；（Ⅱ）以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A，E，B，C，F的坐标，进一步求出平面ECF的法向量及 ，设直线EB与平面ECF所成的角为θ，则sinθ=|cos＜ ＞|=| |= ．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的性质的相关知识，掌握一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．