Question

6．如图，已知ABCO-A₁B₁C₁O₁为长方体，OA=OC=2，OO₁=4，D为BC₁与B₁C的交点，E为A₁C₁与B₁O₁的交点，求二面角D-A₁C₁-A的平面角的正切值．

Answer 1

分析 建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法先求出二面角D-A₁C₁-A的平面角余弦值，利用同角的三角函数的关系式即可求出二面角的正切值．

解答 解：建立以O为坐标原点，OA，OC，OO₁分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵OA=OC=2，OO₁=4，D为BC₁与B₁C的交点，E为A₁C₁与B₁O₁的交点，
∴O（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），O₁（0，0，4），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），D（1，2，2），B（2，2，0），C₁（0，2，4），
则平面A₁C₁A的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{OB}$=（2，2，0），
设$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）是平面DA₁C₁的法向量，
则$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，2，-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=-x+2y-2z=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x=2z}\end{array}\right.$，
令z=1，则x=2，y=2，即$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2×2+2×2+0}{\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}•\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+1}}$=$\frac{8}{2\sqrt{2}•3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
则tan＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即面角D-A₁C₁-A的平面角的正切值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题主要考查二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．