Question

已知函数f（x）=5sinxcosx-5cos²x+（其中x∈R），求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x ）的解析式为 5sin（2x-），故此函数的周期为 T==π．
（2）由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即为增区间，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即为减区间．
（3）由2x-=kπ+，k∈z 求得对称轴方程：x=+，由 2x-=kπ，k∈z 求得对称中心（，0）．
解答：解：（1）函数f（x）=5sinxcosx-5cos²x+=-+
=5（ sin2x-）=5sin（2x-），故此函数的周期为 T==π．   
（2）由 2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，
故增区间为：[kπ-，kπ+]，由2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+，
故减区间：[kπ+，kπ+]，其中k∈z．
（3）由2x-=kπ+，k∈z 可得 x=+，故对称轴方程：x=+．
由 2x-=kπ，k∈z 可得 x=，故对称中心：（，0），其中，k∈z．
点评：本题考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、周期性、对称性，把函数f（x）的解析式化为 5sin（2x-） 是解题的突破口．