Question

5．x，y满足$\left\{\begin{array}{l}x≤2\\ 2x+y≥4\\ x-y+4≥0\end{array}\right.$，则$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的最小值是$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的几何意义进行求解．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域，
$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的几何意义为区域内的点到原点的距离，
则由图象知O到直线BC的距离最小，
即d=$\frac{|4|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合结合点到直线的距离公式是解决本题的关键．