Question

如图, 四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形, PA⊥底面ABCD, E, F分别是AC, PB的中点.

 (1) 证明: EF∥平面PCD；

(2) 若PA＝AB, 求EF与平面PAC所成角的大小.

Answer 1

(1)  证明: 如图, 连结BD, 则E是BD的中点.

又F是PB的中点,，所以EF∥PD.

因为EF不在平面PCD内,所以EF∥平面PCD. 

(2)  连结PE. 因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC.

又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD.

因此BD⊥平面PAC.故∠EPD是PD与平面PAC所成的角.

因为EF∥PD,

所以EF与平面PAC所成的角的大小等于∠EPD.

因为PA＝AB＝AD, ∠PAD＝∠BAD＝,

所以Rt△PAD ≌ Rt△BAD.    因此PD＝BD.

在Rt△PED中,sin∠EPD＝,得∠EPD=.

所以EF与平面PAC所成角的大小是.