Question

16．已知定义在R上的函数f（x）是满足f（x）+f（-x）=0，在（-∞，0）上$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，且f（5）=0，则使f（x）＜0的x取值范围是（-5，0）∪（5，+∞）．

Answer 1

分析 由条件及奇函数、减函数的定义便知f（x）为奇函数，且在（-∞，0），（0，+∞）上为减函数，且有f（-5）=f（5）=0，从而可分别讨论x＞0，和x＜0从而得出$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜f（5）}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜f（-5）}\end{array}\right.$，这样根据f（x）的单调性即可得出x的取值范围．

解答 解：根据条件知，f（x）在R上为奇函数，在（-∞，0）上单调递减；
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（-5）=f（5）=0；
∴①x＞0时，由f（x）＜0得，f（x）＜f（5）；
∴x＞5；
②x＜0时，由f（x）＜0得，f（x）＜f（-5）；
-5＜x＜0；
∴x的取值范围为（-5，0）∪（5，+∞）．
故答案为：（-5，0）∪（5，+∞）．

点评 考查奇函数、减函数的定义，根据减函数的定义解不等式的方法．