Question

16．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，点P在椭圆C上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．
（1）求椭圆的方程；　　　　
（2）若直线l：y=kx+3与椭圆恒有不同交点A、B，且$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞1（O为坐标原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由PF₁⊥PF₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．可得2a=$\frac{4}{3}+\frac{14}{3}$=6，（2c）²=$（\frac{4}{3}）^{2}$+$（\frac{14}{3}）^{2}$，解得a，c²，b²=a²-c²．即可得出．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程联立化为（28+81k²）x²+486kx+477=0，由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞1，可得（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+8＞0，把根与系数的关系代入上式化简与△＞0联立解出即可得出．

解答 解：（1）∵PF₁⊥PF₂，|PF₁|=$\frac{4}{3}$，|PF₂|=$\frac{14}{3}$．
∴2a=$\frac{4}{3}+\frac{14}{3}$=6，（2c）²=$（\frac{4}{3}）^{2}$+$（\frac{14}{3}）^{2}$，解得a=3，c²=$\frac{53}{9}$，b²=a²-c²=$\frac{28}{9}$．
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{9{y}^{2}}{28}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{9{y}^{2}}{28}=1}\end{array}\right.$，化为（28+81k²）x²+486kx+477=0，
△=（486k）²-4（28+81k²）×477＞0，化为k²＞$\frac{53}{81}$．
∴x₁+x₂=$\frac{-486k}{28+81{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{477}{28+81{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9，
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＞1，
∴x₁x₂+y₁y₂＞1，
∴（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+8＞0，
∴$\frac{477（1+{k}^{2}）}{28+81{k}^{2}}$-$\frac{1458{k}^{2}}{28+81{k}^{2}}$+8＞0，
化为：k²＜$\frac{701}{333}$，
∴$\frac{53}{81}$＜k²＜$\frac{701}{333}$，
解得$\frac{\sqrt{53}}{9}$＜k＜$\frac{\sqrt{25937}}{111}$，或-$\frac{\sqrt{25937}}{111}$＜k＜-$\frac{\sqrt{53}}{9}$．
∴k的取值范围是：$\frac{\sqrt{53}}{9}$＜k＜$\frac{\sqrt{25937}}{111}$，或-$\frac{\sqrt{25937}}{111}$＜k＜-$\frac{\sqrt{53}}{9}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系及其△＞0、向量的数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．