【题目】已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点(1, ),离心率为 ,点A为椭圆C的右顶点,直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点P(x1 , y1),Q(x2 , y2).
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)当 ⊥ =0时,求△OPQ面积的最大值.
【答案】解:(Ⅰ)由题意知:且 ,可得: ,
椭圆C的标准方程为
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,与 ,联立得 .
由于 ,得 ,解得 或m=2(舍去).
此时 ,△OPQ的面积为
当直线l的斜率存在时,由题知k≠0,设l:y=kx+m,与 联立,
整理得:(4k2+1)x2+8kmx+4(m2﹣1)=0.由△>0,得4k2﹣m2+1>0;
且 ,
由于 ,得: .
代入(*)式得:12k2+5m2+16km=0,即 或m=﹣2k(此时直线l过点A,舍去).
,
点O到直线l的距离为:
S△OPQ= ,将 代入得: ,
令 0<p<1, ,由y=﹣9p2﹣7p+16,
在(0,1)上递减,
∴0<y<16,故 ,
综上(S△OPQ)max=
【解析】(Ⅰ)将点代入椭圆方程,根据椭圆的离心率公式,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;(Ⅱ)分类讨论.当直线l的斜率不存在时,求得P,Q点坐标,由 ⊥ =0即可求得m的值,求得丨PQ丨,即可求得△OPQ面积;
当直线l的斜率存在,且不为0,代入椭圆方程,利用韦达定理,弦长公式及向量数量积的坐标运算,根据函数的单调性即可求得△OPQ面积的最大值.
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【题目】《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驾马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.何日相逢,”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”现有三种说法:①驽马第九日走了93里路;②良马四日共走了930里路;③行驶5天后,良马和驽马相距615里. 那么,这3个说法里正确的个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
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【题目】函数p(x)=lnx+x﹣4,q(x)=axex(a∈R).
(Ⅰ)若a=e,设f(x)=p(x)﹣q(x),试证明f′(x)存在唯一零点x0∈(0, ),并求f(x)的最大值;
(Ⅱ)若关于x的不等式|p(x)|>q(x)的解集中有且只有两个整数,求实数a的取值范围.
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【题目】已知双曲线E: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2 , |F1F2|=6,P是E右支上一点,PF1与y轴交于点A,△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q,若|AQ|= ,则E的离心率是( )
A.2
B.
C.
D.
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【题目】利用计算机产生120个随机正整数,其最高位数字(如:34的最高位数字为3,567的最高位数字为5)的频数分布图如图所示,若从这120个正整数中任意取出一个,设其最高位数字为d(d=1,2,…,9)的概率为P,下列选项中,最能反映P与d的关系的是( )
A.P=lg(1+ )
B.P=
C.P=
D.P= ×
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【题目】第96届(春季)全国糖酒商品交易会于2017年3月23日至25日在四川举办.交易会开始前,展馆附近一家川菜特色餐厅为了研究参会人数与餐厅所需原材料数量的关系,查阅了最近5次交易会的参会人数x(万人)与餐厅所用原材料数量t(袋),得到如下数据:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数x(万人) | 11 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料t(袋) | 28 | 23 | 20 | 25 | 29 |
(Ⅰ)请根据所给五组数据,求出t关于x的线性回归方程 ;
(Ⅱ)已知购买原材料的费用C(元)与数量t(袋)的关系为 投入使用的每袋原材料相应的销售收入为600元,多余的原材料只能无偿返还.若餐厅原材料现恰好用完,据悉本次交易会大约有14万人参加,根据(Ⅰ)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润L=销售收入﹣原材料费用).
(参考公式: = , )
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【题目】若函数 在(0,2)上存在两个极值点,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣ )
B.(﹣∞,﹣ )
C.(﹣∞,﹣ )∪(﹣ ,﹣ )
D.(﹣e,﹣ )∪(1,+∞)
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【题目】已知函数f(x)=sin(2x﹣ )+2cos2x﹣1(x∈R).
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)= ,b,a,c成等差数列,且 =9,求a的值.
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