Question

18．数列a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…a_n-a_n-1是以1为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，则{a_n}的通项公式a_n=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

Answer 1

分析 由数列a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…a_n-a_n-1是以1为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，可得a_n-a_n-1=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，再利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）即可得出．

解答 解：∵数列a₁，a₂-a₁，a₃-a₂，…a_n-a_n-1是以1为首项、$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴a_n-a_n-1=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+$\frac{1}{3}$+$（\frac{1}{3}）^{2}$+…+$（\frac{1}{3}）^{n-1}$
=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．
故答案为：$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．