分析 (1)由已知利用诱导公式可求cos∠BAD的值,利用余弦定理即可计算BD的长.
(2)由(1)及余弦定理可求cos∠ABD的值,利用同角三角函数基本关系式可求sin∠ABD,cos∠BAC的值,利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式即可计算sin∠ACD的值.
解答 解:(1)∵AD⊥AC,sin∠BAC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin(∠BAD+$\frac{π}{2}$)=cos∠BAD=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$.
∵AB=3$\sqrt{2}$,AD=3,
∴由余弦定理可得:BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}-2AB•AD•cos∠BAD}$
=$\sqrt{18+9-2×3\sqrt{2}×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=$\sqrt{3}$.
(2)∵由(1)及余弦定理可得:cos∠ABD=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2AB•BD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴sin∠ABD=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
又∵sin∠BAC=sin(∠BAD+$\frac{π}{2}$)=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$,可得:cos∠BAC=-$\sqrt{1-si{n}^{2}∠BAC}$=-$\frac{1}{3}$,
∴sin∠ACD=sin[π-(∠ABD+∠BAC)]=sin∠ABDcos∠BAC+cos∠ABDsin∠BAC
=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×(-$\frac{1}{3}$)+$\frac{\sqrt{6}}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题主要考查了诱导公式,余弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | -$\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | -$\frac{3}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 存在函数f(x)使得对任意的实数y,都有等式f(cosy)=cos2y成立 | |
B. | 存在函数f(x)使得对任意的实数y,都有等式f(siny)=sin2y成立 | |
C. | 存在函数f(x)使得对任意的实数y,都有等式f(cosy)=cos3y成立 | |
D. | 存在函数f(x)使得对任意的实数y,都有等式f(siny)=sin3y成立 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$x | B. | y=±2x | C. | y=±$\frac{1}{2}$x | D. | y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x |
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