Question

14．已知sinα=2cosα，求下列各式的值．
（1）sin²α一2cos²α
（2）sin²α+sinαcosα+3．

Answer 1

分析 （1）由题意可得tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=2，而sin²α一2cos²α=$\frac{si{n}^{2}α-2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α-2}{ta{n}^{2}α+1}$，代值计算可得；
（2）sin²α+sinαcosα+3=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$+3=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$+3，代值计算可得．

解答 解：（1）∵sinα=2cosα，∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=2，
∴sin²α一2cos²α=$\frac{si{n}^{2}α-2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{ta{n}^{2}α-2}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{{2}^{2}-2}{{2}^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$；
（2）sin²α+sinαcosα+3
=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$+3
=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$+3
=$\frac{{2}^{2}+2}{{2}^{2}+1}$+3=$\frac{21}{5}$

点评 本题考查同角三角函数基本关系，弦化切是解决问题的关键，属基础题．