(1)证明:取A
1C
1中点F,连接DF,DE,B
1F
∵D是AC
1的中点,E是BB
1的中点.
∴DF∥AA
1,B
1E∥AA
1,DF=
AA
1,B
1E=
AA
1,
∴DF∥B
1E,DF=B
1E,所以DE∥B
1F,DE=B
1F…(2分)
又B
1F?平面A
1B
1C
1,所以DE∥平面A
1B
1C
1…(4分)
(2)解:分别在两底面内作BO⊥AC于O,B
1O
1⊥A
1C
1于O
1,连接OO
1,则OO
1∥AA
1,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,OO
1为z轴建立直角坐标系,
设AA
1=t,BE=h,则λ=
,A(0,-1,0),C
1(0,
,t),E((1,0,h).
平面A
1ACC
1的法向量为
=(1,0,0)…(7分)
设平面AC
1E的法向量为
=(x,y,z)
∵
=(1,1,h),
=(0,
,h)
∴由
可得
…(9分)
取z=1得y=
,x=
∴
…(11分)
由题知
,∴
=0
∴
,∴λ=
=
所以在BB
1上存在点E,当
时,二面角E-AC
1-C是直二面角.…(12分)
分析:(1)取A
1C
1中点F,连接DF,DE,B
1F,利用三角形中位线的性质,可得线线平行,利用线面平行的判定,可得DE∥平面A
1B
1C
1;
(2)建立直角坐标系,求出平面A
1ACC
1的法向量、平面AC
1E的法向量,利用数量积为0建立方程,即可求得结论.
点评:本题考查线面平行,考查面面角,考查向量知识的运用,属于中档题.