Question

已知函数f(x)=4sin2x+2cos(2x-

π

3

)．
（Ⅰ）若存在x0∈[

π

4

，

2π

3

]，使mf（x₀）-4=0成立，求实数m的取值范围；
 （Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]，f(x)=

5

2

，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先将函数化简为f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2，根据x0∈[

π

4

，

2π

3

]，可得2x0-

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，从而可得f（x₀）∈[1，4]，即

4

f(x0)

∈[ 1，4]，利用存在x0∈[

π

4

，

2π

3

]，使mf（x₀）-4=0成立，即可求出实数m的取值范围；
（Ⅱ）根据f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2=

5

2

，可得sin(2x-

π

6

)=

1

4

，利用sin2x=sin（2x-

π

6

+

π

6

），即可求出sin2x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=4sin2x+2cos(2x-

π

3

)=2-2cos2x+cos2x+

3

sin2x=2-cos2x+

3

sin2x
∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2，
∵x0∈[

π

4

，

2π

3

]，∴2x0-

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]
∴sin(2x0-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，∴f（x₀）∈[1，4]
∴

4

f(x0)

∈[ 1，4]
∵存在x0∈[

π

4

，

2π

3

]，使mf（x₀）-4=0成立，
∴实数m的取值范围为1≤m≤4；
（Ⅱ）∵f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2=

5

2

∴sin(2x-

π

6

)=

1

4

∵x∈[0，

π

2

]，∴2x -

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴cos(2x-

π

6

)=

1- 1 16

=

15

4

∴sin2x=sin（2x-

π

6

+

π

6

）=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

3 + 15

8

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，同时考查存在性问题，考查配角方法的使用，掌握方法是关键．