Question

数列{a_n}的通项公式a_n=nsin（

n+1

2

π），其前n项和为S_n，则S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据正弦函数的诱导公式和周期，分类讨论可得：随着n的值变化，a_n=nsin（

n+1

2

π）的值为n、-n或1．由此化简S₂₀₁₄的表达式，结合等差数列的求和公式即可求出答案．

解答： 解：当n=4k（k∈Z）时，sin（

n+1

2

π）=sin

π

2

=1；当n=4k+1（k∈Z）时，sin（

n+1

2

π）=sinπ=0，
当n=4k+2（k∈Z）时，sin（

n+1

2

π）=sin

3π

2

=-1；当n=4k+3（k∈Z）时，sin（

n+1

2

π）=sin2π=0，由此可得
S₂₀₁₄=（1×sinπ）+（2×sin

3π

2

）+（3×sin2π）+…+（2014sin

2015π

2

）
=[2×（-1）+4×1+6×（-1）+8×1+…+2010×（-1）+2012×1+2014×（-1）]
=（-2+4-6+8-10+…+2008-2010+2012-2014）=-1008．
故答案为：-1008．

点评：本题求一个特殊数列的前2014项和，着重考查了正弦函数的周期、诱导公式和等差数列的通项与求和等知识，属于中档题．