分析 (Ⅰ)由DH∥CE,AH∥BE,能证明平面BCE∥平面ADH.
(Ⅱ)推地出AE=AH=CE=CH=EH=2$\sqrt{3}$,取HE中点O,连结AO,CO,则AO⊥EH,CO⊥EH,由此能证明EH⊥AC.
(Ⅲ)以O为原点,OC为x轴,OE为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B-AC-D的平面角的余弦值.
解答 证明:(Ⅰ)∵DH∥CE,AH∥BE,
DH∩AH=H,CE∩BE=E,
DH,AH?平面ADH,CE,BE?平面BCE,
∴平面BCE∥平面ADH.
(Ⅱ)∵在矩形ABCD中,AB=3,BC=3$\sqrt{3}$,点E、H分别是所在边靠近B、D的三等分点,
现沿着EH将矩形折成直二面角,分别连接AD、AC、CB,形成如图所示的多面体,
∴AE=AH=CE=CH=EH=2$\sqrt{3}$,
取HE中点O,连结AO,CO,则AO⊥EH,CO⊥EH,
∵AO∩CO=O,∴EH⊥平面AOC,
∵AC?平面AOC,∴EH⊥AC.
解:(Ⅲ)以O为原点,OC为x轴,OE为y轴,OA为z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,3),B(0,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$),C(3,0,0),D($\frac{3}{2}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,0),
∴$\overrightarrow{AB}$=(0,$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,-$\frac{3}{2}$),$\overrightarrow{AC}$=(3,0,-3),$\overrightarrow{AD}$=($\frac{3}{2}$,-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,-3),
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=3x-3z=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,$\sqrt{3}$,1),
设平面ADC的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}a-\frac{3\sqrt{3}}{2}b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=3a-3c=0}\end{array}\right.$,取a=1,得$\overrightarrow{m}$=(1,-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,1),
设二面角B-AC-D的平面角为θ,
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-1+1}{\sqrt{5}•\sqrt{1+\frac{1}{3}+1}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$.
由图形得二面角B-AC-D的平面角是钝角,
∴二面角B-AC-D的平面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{105}}{35}$.
点评 本题考查面面平面的证明,考查异面垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 26+4$\sqrt{2}$ | B. | 27+4$\sqrt{2}$ | C. | 34+4$\sqrt{2}$ | D. | 17+4$\sqrt{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | 2$\sqrt{2}$ | C. | 4 | D. | 4$\sqrt{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{80\sqrt{5}π}}{3}$-16π | B. | $\frac{{160\sqrt{5}π}}{3}$-16π | C. | $\frac{{80\sqrt{5}π}}{3}$-8π | D. | $\frac{32π}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{20π}{3}$ | B. | 8π | C. | 9π | D. | $\frac{19π}{3}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com