Question

12．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3$\sqrt{3}$，点E、H分别是所在边靠近B、D的三等分点，现沿着EH将矩形折成直二面角，分别连接AD、AC、CB，形成如图所示的多面体．
（Ⅰ）证明：平面BCE∥平面ADH；
（Ⅱ）证明：EH⊥AC；
（Ⅲ）求二面角B-AC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由DH∥CE，AH∥BE，能证明平面BCE∥平面ADH．
（Ⅱ）推地出AE=AH=CE=CH=EH=2$\sqrt{3}$，取HE中点O，连结AO，CO，则AO⊥EH，CO⊥EH，由此能证明EH⊥AC．
（Ⅲ）以O为原点，OC为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-AC-D的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵DH∥CE，AH∥BE，
DH∩AH=H，CE∩BE=E，
DH，AH?平面ADH，CE，BE?平面BCE，
∴平面BCE∥平面ADH．
（Ⅱ）∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=3$\sqrt{3}$，点E、H分别是所在边靠近B、D的三等分点，
现沿着EH将矩形折成直二面角，分别连接AD、AC、CB，形成如图所示的多面体，
∴AE=AH=CE=CH=EH=2$\sqrt{3}$，
取HE中点O，连结AO，CO，则AO⊥EH，CO⊥EH，
∵AO∩CO=O，∴EH⊥平面AOC，
∵AC?平面AOC，∴EH⊥AC．
解：（Ⅲ）以O为原点，OC为x轴，OE为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，3），B（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），C（3，0，0），D（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{AB}$=（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（3，0，-3），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-3），
设平面ABC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\frac{3\sqrt{3}}{2}y-\frac{3}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=3x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），
设平面ADC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}a-\frac{3\sqrt{3}}{2}b-3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=3a-3c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1），
设二面角B-AC-D的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1-1+1}{\sqrt{5}•\sqrt{1+\frac{1}{3}+1}}$=$\frac{\sqrt{105}}{35}$．
由图形得二面角B-AC-D的平面角是钝角，
∴二面角B-AC-D的平面角的余弦值为-$\frac{\sqrt{105}}{35}$．

点评 本题考查面面平面的证明，考查异面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．