Question

设a，b是两个实数，且a≠b，①a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³，②a²+b²≥2（a-b-1），③

a

b

+

b

a

＞2．上述三个式子恒成立的有（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

分析：对于①，欲证a⁵+b⁵＞a²b³+a³b²，只要证a⁵+b⁵-a²b³+a³b²＞0即可，移项后利用二次式的配方法即可；对于②，左右作差后配成完全平方后即得；对于③，因为a，b不一定是同号，不能直接利用基本不等式得到．

解答：解：①a⁵+b⁵-a³b²-a²b³=a³（a²-b²）+b³（b²-a²）
=（a²-b²）（a³-b³）=（a+b）（a-b）²（a²+ab+b²）．
∵（a-b）²≥0，a²+ab+b²≥0，但a+b符号不确定，
∴a⁵+b⁵＞a³b²+a²b³不正确；
故从条件来看，①不一定成立；
②a²+b²-2a+2b+2=（a-1）²+（b+1）²≥0，
∴a²+b²≥2（a-b-1）；成立；
③因为a，b不一定是同号，

a

b

+

b

a

＞2不正确．
正确的为：②．
故选B．

点评：本题主要考查了不等式，涉及到基本不等式、作差比较法、二次函数的配方法等，属于基础题．本题主要考查不等式的证明，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．