Question

【题目】已知函数f（x）=|xex|，g（x）=f2（x）+λf（x），若方程g（x）=﹣1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣e﹣ ）
【解析】解：f（x）= ， 当x≥0时，f′（x）=ex+xex=（1+x）ex＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，
当x＜0时，f′（x）=﹣ex﹣xex=（﹣1﹣x）ex ，
∴当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数．
当x=﹣1时，f（x）取得极大值f（﹣1）= ．
令f（x）=t，
又f（x）≥0，f（0）=0，
则当t＜0时，方程f（x）=t无解；
当t=0或t＞ 时，方程f（x）=t有一解；
当t= 时，方程f（x）=t有两解；
当0 时，方程f（x）=t有三解．
∵g（x）=f2（x）+λf（x）=﹣1有四个不同的实数解，
∴关于t的方程t2+λt+1=0在（0， ）和（ ，+∞）上各有一解，
∴ ，解得：λ＜﹣e﹣ ．
所以答案是（﹣∞，﹣e﹣ ）．