Question

已知定点A(0，

3

)，点B在圆F：x2+(y-

3

)2=16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于点P．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若曲线Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

被轨迹E包围着，求实数a的最小值；
（3）已知Q（2，0），求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根据椭圆的定义可求得动点P的轨迹E的方程；
（2）根据椭圆的几何性质（有界性），可求得实数a的最小值；
（3）表示出|PQ|，利用配方法可求|PQ|的最大值．

解答：解：（1）由题意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆．
其中c=

3

，a=2，∴b=1，∴椭圆方程为x2+

y2

4

=1；
（2）曲线Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

化为（x-a）²+y²=

1

4

，
则曲线Q是圆心在（a，0），半径为

1

2

的圆．
设M（x，y）是此曲线上任意一点，则

- 1 2 ≤y≤ 1 2 a- 1 2 ≤x≤a+ 1 2

∵曲线Q：x2-2ax+y2+a2=

1

4

被轨迹E包围着，
∴-1≤a-

1

2

≤a+

1

2

≤1
∴-

1

2

≤a≤

1

2

，∴实数a的最小值是-

1

2

；
（3）设P（x，y），则有y²=4（1-x²），x∈[-1，1]
∴|PQ|²=（x-2）²+y²=-3x2-4x+8=-3(x+

2

3

)2+

28

3

，
∴x=-

2

3

时，|PQ|²_max=

28

3

，∴|PQ|_max=

2 21

3

．

点评：本题考查椭圆的定义和几何性质，以及点圆位置关系，考查配方法，考查学生的计算能力，属于中档题．