Question

（甲）已知圆C的方程是x²+（y-1）²=5，直线l的方程是mx-y+1-m=0
（1）求证：对于任意的m∈R，直线l与圆C恒有两个交点
（2）设直线l与圆C交于A、B两点，求AB中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据直线l的方程可得直线经过定点H（1，1），而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径，
故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，命题得证．
（2）设AB中点M（x，y），当AB斜率存在时，由K_AB•K_CM=-1，可得 

y-1

x-1

•

y-1

x-0

=-1，化简可得AB中点M的轨迹方程；当AB的斜率不存在时，点M的坐标也满足此轨迹方程，从而得出结论．

解答：解：（1）由于直线l的方程是mx-y+1-m=0，即 y-1=m（x-1），经过定点H（1，1），
而点H到圆心C（0，1）的距离为1，小于半径

5

，故点H在圆的内部，故直线l与圆C相交，
故直线和圆恒有两个交点．
（2）设AB中点M（x，y），当AB的斜率存在时，由题意可得CM⊥AB，故有K_AB•K_CM=-1．
再由 K_AB=K_MH=

y-1

x-1

，K_CM=

y-1

x-0

，∴

y-1

x-1

•

y-1

x-0

=-1，化简可得(x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

，
即AB中点M的轨迹方程为 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
当AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时AB的中点M的坐标为（1，1），
也满足 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．
综上可得，AB中点M的轨迹方程为 (x-

1

2

)2+（y-1）²=

1

4

．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题．