Question

定义

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sinθ（θ为

a

与

b

的夹角），给出下列命题．
①

a

?

b

=

b

?

a

；                  
②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

；
③

a

?（

b

+

c

）=

a

?

b

+

a

?

c

；       
④

a

⊥

b

?

a

?

b

=|

a

|•|

b

|；
⑤设

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），则

a

?

b

=|x₁y₂-x₂y₁|
其中正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：①由

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sinθ=

b

?

a

，即可判断出；
②λ＜0不成立；
③取

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（0，-1），即可判断出；
④

a

⊥

b

?θ=

π

2

?

a

?

b

=|

a

|•|

b

|；
⑤设

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），利用数量积运算可得

a

•

b

=x₁x₂+y₁y₂.(

a

?

b

)2=

a

2×

b

2×sin2θ=

a

2×

b

2（1-cos²θ）=

a

2×

b

2-(

a

•

b

)2=(x1y2-x2y1)2，即可得出．

解答： 解：①由

a

?

b

=|

a

|•|

b

|sinθ=

b

?

a

，可知正确；
②λ（

a

?

b

）=（λ

a

）?

b

，λ＜0不成立；
③取

a

=（1，0），

b

=（0，1），

c

=（0，-1），则

a

?（

b

+

c

）=0，

a

?

b

+

a

?

c

=1+1=2，

a

?（

b

+

c

）≠

a

?

b

+

a

?

c

，不正确；
④

a

⊥

b

?θ=

π

2

?

a

?

b

=|

a

|•|

b

|，正确；
⑤设

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），
∴

a

•

b

=x₁x₂+y₁y₂．
(

a

?

b

)2=

a

2×

b

2×sin2θ=

a

2×

b

2（1-cos²θ）=

a

2×

b

2-(

a

•

b

)2
=(x12+

y

2 1

)(

x

2 2

+

y

2 2

)-(x1x2+y1y2)2
=(x1y2-x2y1)2，
∴

a

?

b

=|x₁y₂-x₂y₁|，正确．
综上可知：只有①④⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评：本题考查了新定义、数量积运算性质、向量的夹角，考查了推理能力与计算能力，属于难题．