【题目】已知数列{an},满足a1=1, ,n∈N* . (Ⅰ)求证:数列
为等差数列;
(Ⅱ)设 ,求T2n .
【答案】证明(Ⅰ):法一:由 ,得
=
=
+
, ∴
﹣
=
,
∴数列{ }是首项为1,公差为
的等差数列,
法二:由 ,得
﹣
=
﹣
=(
+
)﹣
=
∴数列{ }是首项为1,公差为
的等差数列,
(Ⅱ)解:设bn= ﹣
=(
﹣
)
,
由(Ⅰ)得,数列{ }是首项为1,公差为
的等差数列,
∴ ﹣
=﹣
,
即bn=( ﹣
)
=﹣
﹣
,
∴bn+1﹣bn=﹣ (
﹣
)=﹣
×
=﹣
,
且b1=﹣ ×
=﹣
(
+
)=﹣
∴{bn}是首项b1=﹣ ,公差为﹣
的等差数列,
∴T2n=b1+b2+…+bn=﹣ n+
×(﹣
)=﹣
(2n2+3n)
【解析】(Ⅰ)方法一:根据数列的递推公式得到 =
=
+
,即可得到
﹣
=
,问题得以解决,方法二:根据数列的递推公式得
﹣
=
﹣
=(
+
)﹣
=
,问题得以解决,(Ⅱ)设bn=
﹣
=(
﹣
)
,得到{bn}是首项b1=﹣
,公差为﹣
的等差数列,再根据等差数列的求和公式计算即可.
【考点精析】利用等差关系的确定和数列的前n项和对题目进行判断即可得到答案,需要熟知如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即-
=d ,(n≥2,n∈N
)那么这个数列就叫做等差数列;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系
.
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【题目】如图所示,在中,
的中点为
,且
,点
在
的延长线上,且
.固定边
,在平面内移动顶点
,使得圆
与边
,边
的延长线相切,并始终与
的延长线相切于点
,记顶点
的轨迹为曲线
.以
所在直线为
轴,
为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)设动直线交曲线
于
两点,且以
为直径的圆经过点
,求
面积的取值范围.
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等极如下表:
质量指标值 | |||
等级 | 三等品 | 二等品 | 一等品 |
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据 ,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品90%”的规定?
(2)在样本中,按产品等极用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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【题目】已知直线:
恒过定点
,圆
经过点
和点
,且圆心在直线
上.
(1)求定点的坐标;
(2)求圆的方程;
(3)已知点为圆
直径的一个端点,若另一个端点为点
,问:在
轴上是否存在一点
,使得
为直角三角形,若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线
:
,曲线
:
(
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线,
的极坐标方程;
(Ⅱ)曲线:
(
为参数,
,
)分别交
,
于
,
两点,当
取何值时,
取得最大值.
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【题目】设A,B,C,D为平面内的四点,且A(1,3),B(2,﹣2),C(4,1).
(1)若 =
,求D点的坐标;
(2)设向量 =
,
=
,若k
﹣
与
+3
平行,求实数k的值.
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【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
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