Question

8．设函数f（x）=e^x-3-x-ax²．
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）≥-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=0时，求导数，利用导数的正负，即可求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明 f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，分类讨论，利用x≥0时，f（x）≥-2，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） a=0时，f（x）=e^x-3-x，f′（x）=e^x-1．…（1分）
当 x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0；当 x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0．
故 f（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ） f′（x）=e^x-1-2ax．
由（Ⅰ）a=0时f（x）≥-2知e^x≥1+x，当且仅当 x=0时等号成立，…（5分）
故 f′（x）≥x-2ax=（1-2a）x，…（6分）
当 $a≤\frac{1}{2}$时，1-2a≥0，f′（x）≥0（x≥0），f（x）在R上是增函数，
又f（0）=-2，于是当 x≥0时，f（x）≥-2．符合题意．…（8分）
当$a＞\frac{1}{2}$时，由e^x＞1+x（x≠0）可得e^-x＞1-x（ x≠0）．
所以f′（x）＜e^x-1+2a（e^-x-1）=e^-x（e^x-1）（e^x-2a），
故当 x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，而 f（0）=-2，
于是当 x∈（0，ln2a）时，f（x）＜-2 …（11分）
综合得 a的取值范围为$（-∞，\frac{1}{2}]$．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．