Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n,点（n,a_n）(n∈N^*)在函数f(x)=-2x-2的图象上，数列{b_n}的前n项和为T_n,且T_n是6S_n与8n的等差中项.

(1)求数列{b_n}的通项公式;

(2)设c_n=b_n+8n+3,数列{d_n}满足d₁=c₁,d_n+1=cd_n(n∈N^*).求数列{d_n}的前n项和D_n;

(3)设g(x)是定义在正整数集上的函数,对于任意的正整数x₁,x₂恒有g(x₁x₂)=x₁g(x₂)+x₂g(x₁)成立,且g(2)=a(a为常数,a≠0),试判断数列{}是否为等差数列,并说明理由.

Answer 1

解:(1)依题意得a_n=-2n-2,故a₁=-4.

又2T_n=6S_n+8n,即T_n=3S_n+4n,

所以,当n≥2时,b_n=T_n-T_n-1=3(S_n-S_n-1)+4=3a_n+4=-6n-2.

又b₁=T₁=3S₁+4=3a₁+4=-8,也适合上式,

故b_n=-6n-2(n∈N^*).

(2)因为c_n=b_n+8n+3=-6n-2+8n+3=2n+1(n∈N^*),

d_n+1==2d_n+1,因此d_n+1+1=2(d_n+1)(n∈N^*).

由于d₁=c₁=3,

所以{d_n+1}是首项为d₁+1=4,公比为2的等比数列.

故d_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹,所以d_n=2ⁿ⁺¹-1.

所以D_n=(2²+2³+…+2ⁿ⁺¹)-n=-n=2ⁿ⁺²-n-4.

(3)方法一:g()=g(2ⁿ)=2^n-1g(2)+2g(2^n-1).

则====.

所以=.

因为a为常数，则数列{}是等差数列.

方法二:因为g(x₁x₂)=x₁g(x₂)+x₂g(x₁)成立，

且g(2)=a,故g()=g(2ⁿ)=2^n-1g(2)+2g(2^n-1)

=2^n-1g(2)+2［2^n-2g(2)+2g(2^n-2)］=2×2^n-1g(2)+2²g(2^n-2)

=2×2^n-1g(2)+2²［2^n-3g(2)+2g(2^n-3)］=3×2^n-1g(2)+2³g(2^n-3)

=…=(n-1)×2^n-1g(2)+2^n-1g(2)

=n·2^n-1g(2)=an·2^n-1,

所以==n.

因此，数列{}是等差数列.