Question

已知点(1，

1

3

)是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点．等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-1．数列{b_n}（b_n＞0）的首项为1，且前n项和s_n满足sn-sn-1=

sn

+

sn_1

(n≥2)
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn_1

}的前n项和为T_n，问满足T_n＞

1000

2012

的最小正整数n是多少？

Answer 1

分析：（1）由点(1，

1

3

)是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，知f(1)=a=

1

3

，所以f(x)=(

1

3

)x，由此能求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（2）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

，利用裂项求和法能够求出满足Tn＞

1000

2012

的最小正整数．

解答：解：（1）∵点(1，

1

3

)是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，
∴f(1)=a=

1

3

，
∵等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-1，f(x)=(

1

3

)x，
a1=f(1)-1=-

2

3

，
a₂=[f（2）-1]-[f（1）-1]=-

2

9

，
公比q=

a2

a1

=

1

3

，
所以an=-

2

3

(

1

3

)n-1=-2(

1

3

)n，n∈N^*；…（3分）
∵Sn-Sn-1=(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
又b_n＞0，

Sn

＞0，
∴

Sn

-

Sn-1

=1；
∴数列{

Sn

}构成一个首相为1公差为1的等差数列，

Sn

=1+(n-1)×1=n，Sn=n2
当n≥2，bn=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1；
∴b_n=2n-1（n∈N^*）．…（7分）
（2）Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

(2n-1)×(2n+1)

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

，…（10分）
由Tn=

n

2n+1

＞

1000

2012

得n＞

500

6

…（13分）
满足Tn＞

1000

2012

的最小正整数为84．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．