Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=1，PD⊥底面ABCD，平面PBC⊥平面PBD，PA与BC成60°角．
（1）求证：CD=2PD=2；
（2）求侧面PAD与侧面PBC所成的锐二面角的大小．

Answer 1

方法一：
（1）证明：作DE⊥PB于E，
∵平面PBC⊥平面PBD，
∴DE⊥平面PBC，得DE⊥BC．
∵PD⊥BC，PD∩DE=D，
∴BC⊥平面PBD，得BC⊥BD．
∵AB=AD=1，AB∥CD，
∴∠CDB=∠DBA=45°，
BC=BD=，CD=2，
取CD中点F，连接AF，PF，
则AF∥BC，
∠PAF为PA与BC所成的角，
∴∠PAF=60°，
∵Rt△ADP≌Rt△FDP，
∴PA=PF，
∴△PAF为等边三角形，
∴PD=AD=DF=1．
∴CD=2PD=2．
（2）解：延长DA，CB交于G，连接PG，则PG是所求二面角的棱．
作DH⊥PG于H，连接CH，根据二垂线定理，CH⊥PG，
∴∠CHD是侧面PAD与侧面PBC所成二面角的平面角，
PD=1，GD=2，DH=，CD=2，，
∴侧面PAD与侧面PBC所成锐二面角的大小为arctan；
方法二：
（1）建立空间直角坐标系如图，
设CD=a，PD=b，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，b）．
设BD中点为M（，0），
则AM⊥平面PBD，
所以是平面PBD的一个法向量．
=（-1，a-1，0），=（0，a，-b），
设n=（x，y，z）是平面PBC的法向量，则
-x+（a-1）y=0，且ay-bz=0，
令y=1，则x=a-1，z=，
n=（a-1，1，）．
∵平面PBC⊥平面PBD，
∴•n==0，
得a=2.=（-1，1，0），=（1，0，-b），
cos 60°=，
解得b=1．所以，CD=2PD=2；
（2）由（1）知，平面PBC的法向量为n=（1，1，2），
=（1，0，0）是平面PAD的法向量，
设平面PAD与平面PBC所成的锐二面角为θ，
则cosθ=．
∴侧面PAD与侧面PBC所成锐二面角的大小为arccos．
分析：方法一：
（1）作DE⊥PB于E，由平面PBC⊥平面PBD，得DE⊥BC．由PD⊥BC，PD∩DE=D，得BC⊥BD．由AB=AD=1，AB∥CD，知∠CDB=∠DBA=45°，BC=BD=，CD=2，取CD中点F，连接AF，PF，则∠PAF为PA与BC所成的角，故∠PAF=60°，Rt△ADP≌Rt△FDP，知△PAF为等边三角形，由此能够证明CD=2PD=2．
（2）延长DA，CB交于G，连接PG，则PG是所求二面角的棱．作DH⊥PG于H，连接CH，根据二垂线定理，CH⊥PG，∠CHD是侧面PAD与侧面PBC所成二面角的平面角，由此能求出侧面PAD与侧面PBC所成锐二面角的大小．
方法二：
（1）建立空间直角坐标系，设CD=a，PD=b，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，a，0），D（0，0，0），P（0，0，b）．设BD中点为M（，0），则AM⊥平面PBD，所以是平面PBD的一个法向量．由
=（-1，a-1，0），=（0，a，-b），得平面PBC的法向量n=（a-1，1，）．由此能证明CD=2PD=2．
（2）由平面PBC的法向量为n=（1，1，2），=（1，0，0）是平面PAD的法向量，能求出侧面PAD与侧面PBC所成锐二面角的大小．
点评：本题考查CD=2PD=2的证明和求侧面PAD与侧面PBC所成的锐二面角的大小．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，把立体问题转化为平面问题．注意向量法的合理运用．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．