Question

20．已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上，若右焦点到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N，线段MN的中点为E，MN⊥AE，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由题意可得b=1，再由点到直线的距离公式可得c，由a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）直线y=kx+m与椭圆方程联立，利用直线与椭圆相交可得m²＜3k²+1，及中点坐标公式可得点E的坐标，从而可得AE的斜率，利用MN⊥AE，即可求得m的取值范围．

解答 解：（1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得b=1，
右焦点（c，0）到直线x-y+2$\sqrt{2}$=0的距离为3，
可得$\frac{|c+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=3，解得c=$\sqrt{2}$，
即有a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
（2）设E（x_E，y_E）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），E为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①
∴x_E=$\frac{1}{2}$（x_M+x_N）=-$\frac{3mk}{1+3{k}^{2}}$，从而y_E=kx_E+m=$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$，
k_AE=$\frac{{y}_{E}+1}{{x}_{E}}$=-$\frac{m+1+3{k}^{2}}{3mk}$，
∵AE⊥MN，则-$\frac{m+1+3{k}^{2}}{3mk}$=-$\frac{1}{k}$，即2m=3k²+1，②
把②代入①得m²＜2m，解得0＜m＜2，
由②得k²=$\frac{2m-1}{3}$＞0，解得m＞$\frac{1}{2}$．
故$\frac{1}{2}$＜m＜2．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查运算能力，联立方程是关键．