Question

设a＞0，方程ax²+x+1=0两实根为x₁，x₂．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：x₁，x₂都小于-1；

Answer 1

分析：（1）方程ax²+x+1=0有两实根为x₁，x₂．则方程的△≥0，再结合a＞0，我们可以联立组成一个关于a的不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．
（2）由韦达定理（根与系数的关系），我们易得x₁+x₂=-

1

a

，x₁•x₂=

1

a

，结合（1）的结论，易得：x₁+x₂≤-4，x₁•x₂≥4，利用反证法易证结论．

解答：解：（1）∵方程ax²+x+1=0有两实根x₁，x₂．
∴△=1-4a≥0
即a≤

1

4

又∵a＞0
∴满足条件的a的取值范围为（0，

1

4

]
（2）由（1）得：a∈(0，

1

4

]
∴x₁+x₂=-

1

a

≤-4，x₁•x₂=

1

a

≥4
则x₁与x₂均小于0
假设x₁，x₂不都小于-1；
不妨令-1≤x₁＜0
则由x₁+x₂≤-4得
x₂≤-3
则此时x₁•x₂≤3
这与x₁•x₂≥4相矛盾
故假设不成立，故x₁，x₂都小于-1；

点评：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证．反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是①与已知条件矛盾，②与假设矛盾，③与定义、公理、定理矛盾，④与事实矛盾等方面．反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．