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(本小题满分14分)设抛物线的方程为为直线上任意一点,过点作抛物线的两条切线,切点分别为,.

(1)当的坐标为时,求过三点的圆的方程,并判断直线与此圆的位置关系;

(2)求证:直线恒过定点;

(3)当变化时,试探究直线上是否存在点,使为直角三角形,若存在,有几个这样的点,若不存在,说明理由.

 

 

【答案】

解:(1)当的坐标为时,设过点的切线方程为,代入,整理得

,解得

代入方程得,故得,       .................2分

因为的中点的距离为

从而过三点的圆的方程为

易知此圆与直线相切.              ..................4分

(2)证法一:设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为,代入,整理得    

,又因为,所以................5分

从而过抛物线上点的切线方程为

又切线过点,所以得    ①   即

同理可得过点的切线为

又切线过点,所以得    ②   即.................6分

即点均满足,故直线的方程为                                  .................7分

为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点       ..................8分

证法二:设过的抛物线的切线方程为,代入,消去,得    

即:.................5分

从而此时

所以切点的坐标分别为.................6分

因为

所以的中点坐标为

故直线的方程为,即...............7分

为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点       ..................8分

证法三:由已知得,求导得,切点分别为,,故过点的切线斜率为,从而切线方程为

又切线过点,所以得    ①   即

同理可得过点的切线为

又切线过点,所以得    ②  

.................6分

即点均满足,故直线的方程为                     .................7分

为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点       ..................8分

(3)解法一:由(2)中①②两式知是方程的两实根,故有

(*)

,代入上(*)式得

,     .................9分

①当时,,直线上任意一点均有为直角三角形;                                                 .................10分

②当时,不可能为直角三角形;

                                                .................11分

③当时,.

因为

所以

,则,整理得

又因为,所以

因为方程有解的充要条件是.

所以当时,有为直角三角形..............13分

综上所述,当时,直线上任意一点,使为直角三角形,当时,直线上存在两点,使为直角三角形;当时,不是直角三角形.

.................14分

解法二:由(2)知是方程的两实根,即,从而

所以

时,即时,直线上任意一点均有为直角三角形;                                                 .................10分

时,即时,不垂直。

因为

所以

,则,整理得

又因为,所以

因为方程有解的充要条件是.

所以当时,有为直角三角形..............13分

综上所述,当时,直线上任意一点,使为直角三角形,当时,直线上存在两点,使为直角三角形;当时,不是直角三角形.

.................14分

 

【解析】略

 

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