Question

已知圆C：，点，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）设P为直线x=4上不同于点（4，0）的任意一点，D，F分别为曲线E与x轴的左，右两交点，若直线DP与曲线E相交于异于D的点N，证明△NPF为钝角三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得
∴轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆…（2分）
∴轨迹E的方程为…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知D（-2，0），F（2，0），设P（4，t）（t≠0），N（x_N，y_N）
则直线DP的方程为…（6分）
由得（9+t²）x²+4t²x+4t²-36=0
∵直线DP与椭圆相交于异于D的点N
∴，∴
由得…（8分）
∴
∴…（10分）
又N，F，P三点不共线，∴∠NFP为钝角，
∴△NFP为钝角三角形…（12分）
分析：（Ⅰ）先根据椭圆的定义，确定轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，再写出椭圆的方程；
（Ⅱ）直线DP的方程与椭圆方程联立，确定N的坐标，求出，利用其数量积小于0，即可得到结论．
点评：本题考查椭圆的定义，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．