Question

已知动圆与直线x=-1相切，且过定点F（1，0），动圆圆心为M．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，且

OA

•

OB

=5（O为坐标原点），求证：直线l过一定点．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的定义和题设中的条件可知点M是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，进而求得抛物线方程．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入到

OA

•

OB

=5求得x₁x₂+y₁y₂=5，把A，B坐标代入抛物线方程进而求得?y₁²y₂²=16x₁x₂②联立方程求得y₁y₂和（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），进而看当x₁=x₂时，AB⊥x轴，进而根据x₁²-y₁²=5和y₁²=4x₁求得x，即AB的方程；当
x₁≠x₂，进而求得AB的斜率，根据点A表示出AB的直线方程整理可知过定点（5，0），综合结论可得．

解答：解：（1）由已知，点M到直线x=-1的距离等于到点（1，0）的距离，所以点M是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，焦点到准线的距离p=2，
∴点M的轨迹方程为y²=4x
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OA

•

OB

=5可得：x₁x₂+y₁y₂=5①
∵A、B均在抛物线上，
∴

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2.

?y₁²y₂²=16x₁x₂②
由①②可得：y₁²y₂²=16（5-y₁y₂）即y₁²y₂²+16y₁y₂-80=0，
∴y₁y₂=-20或y₁y₂=4（舍去）
再由

y 2 1 =4x1 y 2 2 =4x2.

相减得：（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
若x₁=x₂，则AB⊥x轴，y₂=-y₁，由①：x₁²-y₁²=5，结合y₁²=4x₁得：x₁=5，
∴此时AB的方程为x=5
若x₁≠x₂，则

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

，即为直线AB的斜率，而A(

y 2 1

4

，y1)，则AB的方程为：y-y1=

4

y1+y2

(x-

y 2 1

4

)，
即y=

4

y1+y2

x+

y1y2

y1+y2

，
∴y=

4

y1+y2

(x-5)也过定点（5，0）
综上得：直线AB过定点（5，0）

点评：本题主要考查了双曲线的应用．涉及了直线与双曲线的关系，解析几何的知识，综合性很强．