Question

（1）已知圆的方程是x²+y²=4，求斜率等于1的圆的切线的方程；
（2）若实数x，y，t，满足

x2

9

+

y2

16

=1且t=x+y，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设直线方程为：y=x+b，根据圆心到直线的距离d=

|b|

2

=2，求出b值，即得切线方程．
（2）由题意得方程组

y=-x+t x2 9 + y2 16 =1

有解，由判别式：△≥0求得t的范围．

解答：解：（1）设直线方程为：y=x+b，∵直线与圆相切，设圆心到直线的距离为d，

∴d=

|b|

2

=2，∴b=±2

2

．∴切线方程为：x-y±2

2

=0．
（2）直线 l； y=-x+t 与椭圆 C：

x2

9

+

y2

16

=1 有交点，
则方程组

y=-x+t x2 9 + y2 16 =1

有解，∴将 y=-x+t 代入椭圆方程

x2

9

+

y2

16

=1得：
25x²-18tx+9t²-144=0，
∴该二次方程的判别式：△=（-18t）²-4×25（9t²-144）≥0，解得 t∈[-5，5]．

点评：本题考查直线和圆的位置关系，根据直线和椭圆有交点的条件，判断方程组

y=-x+t x2 9 + y2 16 =1

有解是解题的关键．